Vor ~40 Jahren (--> etwa 1984) habe ich mich mich mal
für das damalige Modethema
Chaos Mathematik interessiert.
Um dies zugänglich zu machen und weil ich einen Spiegelartikel
dazu gefunden
habe, wollte ich die Methode und Bilder mal wieder vorstellen.
So hübsch kann Mathe sein.
Der Spiegelartikel : http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens
DAS
APFELMÄNNCHEN
Hinter
dem berühmten Apfelmännchen steckt die sogenannte Mandelbrot-Menge. Ob
eine komplexe Zahl c zur Mandelbrot-Menge gehört oder nicht,
entscheidet sich bei einer Rekursion, also der wiederholten Berechnung
mit einer Formel, in die immer wieder das Ergebnis der vorherigen
Berechnung eingesetzt wird.
Die Zahl c gehört zur gesuchten Menge, wenn
die Folge mit der Bildungsregel zn+1 = zn 2 + c nicht divergiert, also
die Werte nicht Richtung unendlich laufen.
Ist dies der Fall, dann wird
der Punkt der Zahl c in der komplexen Zahlebene schwarz gezeichnet.
Die x-Achse repräsentiert dabei den Realteil der Zahl c, die y-Achse
den imaginären Teil.
Auf diese Weise entsteht das bekannte
Apfelmännchen, das immer feinere Strukturen aufweist, je genauer man
rechnet.
Auch wenn man sofort an Selbstähnlichkeit denkt, ist die
Mandelbrot-Menge kein Fraktal im engeren Sinn, denn ihre Strukturen
wiederholen sich nicht auf identische Weise wie etwa bei der Koch-Kurve
oder dem Sierpinski-Dreieck.
Meine Youtube Videos dazu:
Zum Thema Fraktale habe ich hier das Youtube einer Software von
mir, die ich noch habe:
Das Tapetenprogramm: Aus dem Softwarearchiv.
Tapeten Fraktal
Programm: https://youtu.be/aQzyvwN4QIQ Aus
dem Softwarearchiv.
Tapeten Fraktal Programm (2) https://youtu.be/Y_gyGLqkZK8 Fraktal-Kunst Eine Spielerei war eine
ATMega
Mikrocontroller PinkPong Spiel zu missbrauchen um Fraktal-Kunst zu
machen Siehe Video:
https://youtu.be/q_FECRtilEk
So wird ein Fraktal zufuß programmiert: (Die Auflösung ist
natürlich variabel.)
Start: Z=0
C = Koordinate im Komplexen Zahlenfeld ( Real=X, Imaginär=Y)
->Grafische Koordinaten
--> Plot(X,Y,color)
Wertebereich Real(X) = -2- bis +1,
Imagniär(Y) = -1bis +1
Dann Rekursion der Formel bis
Betrag von Z --> |Z| größer 4 -->
Dann ist N (Schleifenzähler oder Counter) die Farbe des Punktes (
Modulo ) an der X=Realzahl oder Y=Imaginärzahl Koordinate
ODER!--> Lege einen maximale Schleifendurchlaufzahl fest
BSp. 250..
Wenn diese Erreicht wird, ohne das Z-Betrag |Z| > 4 geworden ist,
dann ist der Punkt SCHWARZ
Noch ist die Grafikauflösung zu skalieren:
BSp X-Achse=800, Y=600 Grafikpunkte ->
Wertebereich von Z-Real = -2 zu + 1 = Länge 3 von Z-Real
Wertebereich von Z-Imagniär = -1 zu + 1 = Länge 23 von Z-Imaginär
X--> also 3/800= 3.75^-3 Dies ist nun zu X zu
Addieren
Y--> also 2/600 = 3.33333333^-3 Dies ist nun zu Y zu Addieren
Hier nur das Prinzip. Zwei
Hauptschleifen PSEUDOCODE !!
{Auflösung} = z.B. 0.0000001
for(X=-2 ;X = X+{Auflösung}; X >= 1)
{
for(Y=1;Y = Y - {Auflösung} Y <= -1)
{
while( (Betrag < 4 )
&& (IterNN < IterationMax) )
{
Real = RN * RN;
Imag = IN * IN;
Betrag = Real
+ Imag;
IN = (IN
* RN * 2) - YC;
RN = Real -
Imag - XC;
IterNN++;
};
PLOT
(X,Y,IterNN); //IterNN=Modulo Color
-->PseudoCode
}
};
und das ergibt_ Quick & Dirty DEV-C++
Programm von mir: Graf_Fraktal8-neu.zip
So sieht es in
meinem LabView (Test)Programm aus:
Matheknoten Inhalt:
while( (Betrag < 4 ) && (IterNN < IterationMax) )
{
Real = RN * RN;
Imag = IN * IN;
Betrag = Real + Imag;
IN = (IN * RN * 2) - YC;
RN = Real - Imag - XC;
IterNN++;
};
if( IterNN >= IterationMax )
{
IterNN = 0;
};
und jetzt in die "Grundfigur" hieneinvergrössern
Benoit Mandelbrot Fraktal
Algorythmus: Algebraische Ausformung von
"KOMPLEX" //Hier
ein Beispiel in der
Programmiersprache ANSI-C ohne Grosse Bibliotheken oder dem Datentyp
COMPLEX.
//X_Achse
X_Add-Segment = R_DIFF/X_Grafik; // = 2/1024 = 1,953.....
Real = Real + X_Add Segment;
Das selbe nochmals für die Y-Achse = (Imaginär Achse)
Imag = Imag +
Y_Add Segment.......
*/
// -------------------------------------------------------------------
// Punkt Berechnung:
IterNN = Betrag = RN = IN = 0;
while( (Betrag < 4 ) && (IterNN <
IterationMax) )
{
Real = RN * RN;
Imag = IN * IN;
Betrag = Real + Imag;
IN = (IN * RN * 2) - YC;
RN = Real - Imag - XC;
IterNN++;
};
if( IterNN >= IterationMax )
{
IterNN = 0;
};
// Es folgt pro Schleifendurchlauf noch die Prüfung ob Betrag von Z
> 4,
Dann setze den Punkt mit Modulo des Durchlaufzählers = Farbe.
//
-------------------------------------------------------------------
ORGINAL: Meine Mandelbrotmengen von 1985.
Berechnet mit dem Sinclair ZX81 ( Wirklich !! )
4Mhz, 2 KByte Speicher
Drucker war kein Nadel, sondern ein Einpunkt-Balkenschlagdrucker... im
Selbstbau:
Der Sinclair ZX81 ( Modifziert auf 2K RAM)
Arikel dazu aus der Zeitung
Ich habe mit einem C Programm versucht mal die Inneren
Bereiche,die sonst Schwarz dargestellt werden zu untersuchen.
Diese "stabilen Zonen" sind Iterationen gegen unendlich und |Z|
< 4.
Habe die Iterationen bis zum Abbruch auch farbig dargestellt. Der graue
Punkt,,extra außerhalb der 0 Linie war eine Sonderanalyse und ist
nicht relevant.
Das kam dabei heraus. Interessant, nicht?
