Hyperbolische Geometrie
Filip Misev Universität Regensburg, Fakultät für Mathematik, Büro M 121 vorname.nachname@ur.de
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Sämtliche Informationen zur Vorlesung werden auf der Gemeinsamen Regensburger Internet- Plattform für Studierende (GRIPS) bereitgestellt. Link zur GRIPS-SeiteZeit und Ort:
Mittwoch 14:15 - 15:45, M 104. Erste Vorlesung: 16. Oktober 2024. Letzte Vorlesung: 5. Februar 2025.
Fragen:
Per E-Mail, im Büro M 121 vorbeikommen oder während der Vorlesung.Besprochene Themen:
16. Oktober: Hyperbolische Ebene, Doppelverhältnis, Möbiustransformationen.
Definition des Modells der hyperbolischen Ebene H2, hyperbolische Geraden, Parallelen, Randpunkte ("Punkte im Unendlichen"), Doppelverhältnis cr(a,b,c,d) = ((c − a)(d − b))/((b − a)(d − c)), Möbiustransformationen, drei Typen von Möbiustransformationen.
23. Oktober: Eigenschaften des Doppelverhältnisses, Eigenschaften von Möbiustransformationen.
cr(a,b,c,d) ist reell genau dann, wenn a,b,c,d auf einer Euklidschen Gerade oder auf einem Kreis liegen, Desargues-Konfiguration: Die Konstruktion eines vierten Punktes P4 aus drei kollinearen gegebenen Punkten P1, P2, P3 hängt nicht von den beiden gewählten Hilfspunkten ab und es gilt cr(P1, P2, P3, P4) = 2, Verhalten von cr(a,b,c,d) unter Permutation der Einträge (Übung), 3-Transitivität (Beweis durch Formel und geometrischer Beweis via lineare Algebra), Invarianz des Doppelverhältnisses (via drei Typen von Möbiustransformationen), Geraden und Kreise werden auf Geraden und Kreise abgebildet, Möbiustransformationen sind konform (winkeltreu) - siehe komplexe Analysis und Holomorphie.
30. Oktober: Winkel, Skalarprodukt, Distanz.
Die hyperbolische Metrik d auf H2 ist induziert durch die Riemannsche Metrik gHp(v,w) = 1/Im(p)2⟨v, w⟩.
6. November: Hyperbolische Trigonometrie, Fläche von Dreiecken.
Das Poincaré-Scheibenmodell D2 der hyperbolischen Ebene
Cayley-Transformation ϕ von H2 nach D2, ϕ(z) = (z − i)/(z + i) und ihre Inverse ψ(w) = i(1 + w)/(1 − w),
die induzierte Riemannsche Metrik gDp(v,w) = 4/(1 − |p|2)2 ⟨v, w⟩,
der hyperbolische Cosinussatz cosh(c) = cosh(a) cosh(b) − sinh(a) sinh(b) cos(γ) (enthält als Spezialfall den hyperbolischen Satz des Pythagoras cosh(c) = cosh(a) cosh(b) für rechtwinklige Dreiecke) und
der hyperbolische Sinussatz sinh(a)/sin(α) = sinh(b)/sin(β) = sinh(c)/sin(γ) für hyperbolische Dreiecke mit (hyperbolischen Seitenlängen a, b, c und jeweils gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ,
Flächenformel für hyperbolische Dreiecke: Fläche(Δ(α,β,γ)) = π − α − β − γ, durch Integration von 1/y2 dx dy zunächst für Dreiecke mit einem idealen Eckpunkt in ∞, dann im Allgemeinen durch Zerlegung.
Literatur:
6. November 2024