Elementare Zahlentheorie
Lehramt Grundschule, Mittelschule und Realschule, Sommersemester 2020

Filip Misev
Universität Regensburg, Fakultät für Mathematik, Büro M 005
vorname.nachname@ur.de

Sprechstunde:

Nach Vereinbarung per E-Mail.

GRIPS-Seite:

Sämtliche Informationen zur Vorlesung werden auf der Gemeinsamen Regensburger Internet- Plattform für Studierende (GRIPS) bereitgestellt.
Link zur GRIPS-Seite

Online-Vorlesungsablauf:

Die Vorlesung fand zu den vorgesehenen Zeiten statt in Form einer online-Vorlesung über "zoom", die über die üblichen Browser via Internet abgerufen werden kann. Ein Link zum Abrufen der entsprechenden Seite ist auf der GRIPS-Seite bereitgestellt.

Erste Vorlesung: Mittwoch, 22. April um 16:15 Uhr.
Letzte Vorlesung: Mittwoch, 22. Juli um 16:15 Uhr.
Fragestunde: Am Montag, 20. Juli und Dienstag, 21. Juli, jeweils um 15 Uhr im üblichen zoom-Raum.

Vorlesung:

Die Vorlesung richtet sich hauptsächlich an Studentinnen und Studenten des Lehramtes für Grund-, Mittel-, und Realschulen im zweiten Semester. Besprochen werden einige grundlegenden Konzepte der elementaren Zahlentheorie, welche die ganzen Zahlen (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …) und ihre Eigenschaften studiert. Dazu gehören unter Anderem die Primzahlen, Teilbarkeit, Kongruenzen, lineare diophantische Gleichungen, der Regensburger Restsatz1, und Kettenbrüche.

1 (der Name ist nicht ganz ernst gemeint)

Prüfung:

Die Wiederholungsklausur (schriftliche Prüfung) findet am 23. September 2020 zwischen 9:30 und 12:45 Uhr statt (effektive Prüfungszeit: 10:00-12:00 Uhr) an der Uni Regensburg, voraussichtlich im Hörsaal H16.
Die (freiwillige) Prüfungseinsicht findet am 24. September 2020 zwischen 14:00 und 16:00 Uhr statt, im Hörsaal H16, und zwar zeitlich gestaffelt nach den Anfangsbuchstaben des Nachnamens. Die Tabelle dazu folgt noch auf der GRIPS-Seite.
Die Klausur (schriftliche Prüfung) fand am 29. Juli 2020 zwischen 9:30 und 12:45 Uhr statt (effektive Prüfungszeit: 10:00-12:00 Uhr) an der Uni Regensburg, in den Hörsälen H37, H38 und H3. Die Zuteilung auf die Hörsäle wurde per E-Mail bekannt gegeben (an die angemeldeten Teilnehmerinnen und Teilnehmer).
Außer Stift und einem einfachen Taschenrechner waren keine Hilfsmittel erlaubt.
Der voraussichtliche Wiederholungstermin ist der 23. September 2020, 10-12 Uhr.

Übungen:

Jede Woche gab es ein Übungsblatt mit Übungsaufgaben. Die Übungsblätter wurden in den Übungsgruppen besprochen und mussten nicht abgegeben werden. Genauso wie die Vorlesung fanden die Übungsstunden zu den vorgesehenen Zeiten online via "zoom" statt. Es gab vier Übungsgruppen: Freitags 8-10, 10-12, 12-14 und 14-16 Uhr. Die Zugangslinks sowie die Einteilung in die Übungsgruppen sind auf der GRIPS-Seite veröffentlicht.

Übungsblatt 1

Übungsblatt 2

Übungsblatt 3

Übungsblatt 4

Übungsblatt 5

Übungsblatt 6

Übungsblatt 7

Übungsblatt 8

Übungsblatt 9

Übungsblatt 10

Übungsblatt 11

Übungsblatt 12

Vorlesungsübersicht:

22. April: Ein Primzahlsatz.
Primzahlen. 2 Kilo Schokolade: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2. Satz von Euler: Die Reihe 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + … (1/p, wobei p alle Primzahlen durchläuft) divergiert gegen unendlich (Beweis von Erdős). Einige berühmte offene Probleme der Zahlentheorie.

29. April: Teilen mit Rest.

6. Mai: Teilbarkeit, Euklid, Bézout.
Definition a|b (a teilt b, a ist Teiler von b, b ist Vielfaches von a), ggT(a,b), Algorithmus von Euklid, Satz von Bézout.

13. Mai: Primzahlen.
Zusatz zur Vorlesung vom 6. Mai: Weitere Beispiele zum Algorithmus von Euklid und dem Satz von Bézout. Lemma: p prim, p|ab, dann p|a oder p|b. Fundamentalsatz der Arithmetik (Existenz und Eindeutigkeit von Primfaktorzerlegungen). Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen. Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4m + 3, Satz von Dirichlet: Falls a, b teilerfremd sind, gibt es unendlich viele Primzahlen der Form am + b (ohne Beweis). Satz von Green-Tao über arithmetische Primzahlfolgen (ohne Beweis). Definition kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches).

20. Mai: Kongruenzen und Restklassen.
Zusatz zur letzten Vorlesung: Berechnung von ggT und kgV mithilfe der Primfaktorzerlegung. Definition a ≡ b mod n (a kongruent b modulo n), Lemma: a ≡ b mod n genau dann, wenn a und b bei Division durch n denselben Rest haben. Beispiele, Definition Restklassen a, Menge der Restklassen Z/nZ = {0, 1, 2, …, n-1}.

27. Mai: Lineare Kongruenzen.
Beispiele zu Kongruenzen und Restklassen. Lösungen von linearen Kongruenzgleichungen: ax ≡ b mod n hat genau d = ggT(a, n) Restklassen von Lösungen falls d|b, sonst keine Lösungen.

3. Juni: Restsatz.
Repetition lineare Kongruenzen. ggT(a, n) = 1 bedeutet, dass a ein Inverses modulo n hat. Kürzen von Kongruenzen. Der Chinesische Restsatz (simultane lineare Kongruenzen).

10. Juni: Repetitionsstunde.
Link zu den Repetitionsaufgaben

17. Juni: Fermats Zwei-Quadrate-Satz.
Satz (Fermat): Jede Primzahl p ≡ 1 mod 4 lässt sich als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen. Beweis mit Windmühlenrädern (oder Dachterrassen; je nach Geschmack) nach Spivak. Fortsetzung der Repetitionsstunde.

24. Juni: Der Kleine Satz von Fermat.
Der Kleine Satz von Fermat: ap−1 ≡ 1 mod p, falls p prim und a ≢ 0 mod p. Eulers ϕ-Funktion. Satz von Euler: aϕ(n) ≡ 1 mod n, falls a und n teilerfremd sind.

1. Juli: Die RSA-Verschlüsselungsmethode.
Primzahltests: Sieb von Eratosthenes, Satz von Wilson, Kleiner Satz von Fermat. Die Rivest-Shamir-Adleman - Verschlüsselung.

8. Juli: Kreispackung von Farey und Kettenbrüche.
Repetition RSA-Verschlüsselung. Fareysche Kreispackung. Kettenbrüche.

15. Juli: Nachtrag zur Eulerschen ϕ-Funktion, Zusammenhang Farey-Kreispackung und Kettenbrüche.
Eigenschaften der ϕ-Funktion: ϕ(pn) = pn − pn−1 für Primzahlen p und ϕ(mn) = ϕ(m) ϕ(n) für teilerfremde natürliche Zahlen m und n. Näherungsfolgen für Kettenbrüche; wie lassen sich die Näherungsbrüche aus der Fareyschen Kreispackung ablesen?

22. Juli: Repetitionsstunde.

Literaturempfehlungen:

Es gibt ein Skript zur Vorlesung.

Link zum Skript

Zusätzliche Literatur zur Vorlesung ist (besonders für die Prüfung) nicht nötig; wer jedoch selber mehr über das Thema lesen möchte, findet hier ein paar Buchempfehlungen:

16. September 2020

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