Hyperbolische Geometrie

Filip Misev
Universität Regensburg, Fakultät für Mathematik, Büro M 121
vorname.nachname@ur.de

GRIPS-Seite:

Zeit und Ort:

Mittwoch 14:15 - 15:45, M 104.
Erste Vorlesung: 16. Oktober 2024.
Letzte Vorlesung: 5. Februar 2025.

Fragen:

Besprochene Themen:

16. Oktober: Hyperbolische Ebene, Doppelverhältnis, Möbiustransformationen.
Definition des Modells der hyperbolischen Ebene H², hyperbolische Geraden, Parallelen, Randpunkte ("Punkte im Unendlichen"), Doppelverhältnis cr(a,b,c,d) = ((c − a)(d − b))/((b − a)(d − c)), Möbiustransformationen, drei Typen von Möbiustransformationen.

23. Oktober: Eigenschaften des Doppelverhältnisses, Eigenschaften von Möbiustransformationen.
cr(a,b,c,d) ist reell genau dann, wenn a,b,c,d auf einer Euklidschen Gerade oder auf einem Kreis liegen, Desargues-Konfiguration: Die Konstruktion eines vierten Punktes P₄ aus drei kollinearen gegebenen Punkten P₁, P₂, P₃ hängt nicht von den beiden gewählten Hilfspunkten ab und es gilt cr(P₁, P₂, P₃, P₄) = 2, Verhalten von cr(a,b,c,d) unter Permutation der Einträge (Übung), 3-Transitivität (Beweis durch Formel und geometrischer Beweis via lineare Algebra), Invarianz des Doppelverhältnisses (via drei Typen von Möbiustransformationen), Geraden und Kreise werden auf Geraden und Kreise abgebildet, Möbiustransformationen sind konform (winkeltreu) - siehe komplexe Analysis und Holomorphie.

30. Oktober: Winkel, Skalarprodukt, Distanz.
Die hyperbolische Metrik d auf H² ist induziert durch die Riemannsche Metrik g^H_p(v,w) = 1/Im(p)²⟨v, w⟩.

6. November: Hyperbolische Trigonometrie, Fläche von Dreiecken.
Das Poincaré-Scheibenmodell D² der hyperbolischen Ebene
Cayley-Transformation ϕ von H² nach D², ϕ(z) = (z − i)/(z + i) und ihre Inverse ψ(w) = i(1 + w)/(1 − w),
die induzierte Riemannsche Metrik g^D_p(v,w) = 4/(1 − |p|²)² ⟨v, w⟩,
der hyperbolische Cosinussatz cosh(c) = cosh(a) cosh(b) − sinh(a) sinh(b) cos(γ) (enthält als Spezialfall den hyperbolischen Satz des Pythagoras cosh(c) = cosh(a) cosh(b) für rechtwinklige Dreiecke) und
der hyperbolische Sinussatz sinh(a)/sin(α) = sinh(b)/sin(β) = sinh(c)/sin(γ) für hyperbolische Dreiecke mit (hyperbolischen) Seitenlängen a, b, c und jeweils gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ,
Flächenformel für hyperbolische Dreiecke: Fläche(Δ(α,β,γ)) = π − α − β − γ, durch Integration von 1/y² dx dy zunächst für Dreiecke mit einem idealen Eckpunkt in ∞, dann im Allgemeinen durch Zerlegung.

13. November: Etwas über Krümmung: Sphärische, Euklidsche und hyperbolische Geometrie.
Flächenformel für sphärische Dreiecke: Fläche(Δ(α,β,γ)) = α + β + γ − π, Paralleltransport auf der Sphäre, in der Ebene und in H² mittels Isometrien, Krümmung, Fläche und Umfang einer hyperbolischen Kreisscheibe (Wachstumsverhalten).

20. November: Distanz paralleler Geraden und ein Satz über rechtwinklige Vierecke.
Formel für die Distanz zweier hyperbolischer Geraden mit paarweise verschiedenen Endpunkten A, B, C, D: cosh(d(AB, CD)) = cr(A, B, C, D) − cr(A, B, D, C), Tubenumgebung einer hyperbolischen Gerade. Kreisscheiben: Umrechnung von Mittelpunkt und Radius Euklidsch-hyperbolisch. Satz über quasi-ideale Lambertvierecke (hyperbolische Vierecke mit drei rechten Winkeln und einer idealen Ecke) und endlichen Seitenlängen a, b: sinh(a) · sinh(b) = 1.

27. November: Flächen.
Morse-Funktionen, Morse-Lemma, Zerlegung einer Fläche in Stücke (Kappen, Schalen, Zylinder, Hosen mit Euler-Charakteristik 1, 1, 0, −1).

4. Dezember: Geometrie auf Flächen.
Definition einer hyperbolischen Struktur auf einer Fläche (Atlas mit Karten in H² und Einschränkungen von Möbiustransformationen als Kartenwechsel), Satz von Gauß-Bonnet: ∫_S k dA = 2πχ(S), Lemma: Ein hyperbolisches rechtwinkliges Sechseck ist bis auf Isometrie eindeutig durch die Längen dreier nicht-benachbarter Kanten festgelegt.

11. Dezember: Die universelle Überlagerung.
Definition Modulraum und Teichmüllerraum einer geschlossenen Fläche S vom Geschlecht ≥ 2: Raum der hyperbolischen Strukturen auf S modulo Isometrie, beziehungsweise modulo Isometrien homotop zur Identität.
Die universelle Überlagerung einer (geschlossenen, zusammenhängenden, nicht-leeren) hyperbolischen Fläche S ist isometrisch zu H² und π₁(S) operiert durch Decktransformationen in Form von Isometrien; es ist eine Fuchssche Gruppe: Diskrete Untergruppe von PSL₂(R). Klassifikation von Möbiustransformationen μ_A ≠ id_H², A ∈ SL₂(R), via Spur:
|tr(A)| < 2 ⟺ μ_A hat einen einzigen Fixpunkt in H² ⟺ μ_A ist elliptisch,
|tr(A)| = 2 ⟺ μ_A hat einen einzigen Fixpunkt in ∂H² ⟺ μ_A ist parabolisch,
|tr(A)| > 2 ⟺ μ_A hat genau zwei Fixpunkte in ∂H² ⟺ μ_A ist hyperbolisch.
Proposition: Die nichttrivialen Decktransformationen der universellen Überlagerung einer geschlossenen hyperbolischen Fläche sind alle vom hyperbolischen Typ.

18. Dezember: Teichmüllerraum und Fenchel-Nielsen-Koordinaten.
Beschreibung des Teichmüllerraums als 𝒯(Σ) = {(S,ϕ) : S hyperbolische Fläche, ϕ : Σ → S Diffeomorphismus}/~, wobei (S,ϕ) ~ (S',ϕ') genau dann, wenn eine Isometrie f : S → S' existiert, so dass f ∘ ϕ ≃ ϕ' (homotop).
Auf einer hyperbolischen Fläche ist jede essenzielle geschlossene Kurve zu einer eindeutigen geschlossenen Geodäte frei homotop.
Längenfunktion L : 𝒯(P) → (R_>0)³, wobei P eine Hose ist, und allgemein für eine geschlossene Fläche Σ vom Geschlecht g ≥ 2: L : 𝒯(Σ) → (R_>0)^3g−3 via Hosenzerlegung (2g − 2 Hosen, insgesamt 3g − 3 Hosenränder auf Σ) und Twist-Parameter L⁻¹(x) ≅ R^3g−3 (ein Parameter pro Hosenrand).
Insgesamt: 𝒯(Σ) ≅ R^6g−6.

8. Januar: Hurwitz' 84(g − 1)-Satz.
Orbifolds, Orbifold-Euler-Charakteristik, Hurwitz' Satz: Für eine geschlossene hyperbolische Fläche S vom Geschlecht g gilt: |Isom⁺(S)| ≤ 84(g − 1).

15. Januar: Flächen mit Rand: Die Basmajian-Identität und der kleine Picard.
Satz von Basmajian: Für eine kompakte, zusammenhängende, hyperbolische Fläche S mit genau einer geodätischen Randkomponente lässt sich die Randlänge durch das Orthospektrum bestimmen: ℓ(∂S) = Σ_γ⊥∂S 2 arsinh(1/sinh(γ)), Beweis via Lambert-Vierecke in der universellen Überlagerung. Kleiner Satz von Picard: Eine holomorphe Funktion f : C → C\{0,1} ist konstant. Beweisskizze durch Hochheben von f in die universelle Überlagerung von C\{0,1}, welche biholomorph zu D² ist, und Anwenden von Liouville.

22. Januar: Der n-dimensionale hyperbolische Raum und Geometrisierung in Dimension 3.
Definition des n-dimensionalen hyperbolischen Raums Hⁿ, das Modell Dⁿ und das Hyperboloid-Modell Iⁿ = {x ∈ Rⁿ⁺¹ : x₁² + ... + x_n² − x_n+1² = −1, x_n+1 > 0}. Überblick zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten; die acht Modellgeometrien R³, H³, S³, S² × R, H² × R, Nil, SL₂(R), Sol.

29. Januar: Mostows Starrheitssatz.
Isometrien von Hⁿ. Starrheitssatz von Mostow: Sei n ≥ 3 und seien M und N zwei n-dimensionale kompakte, zusammenhängende, orientierbare hyperbolische Mannigfaltigkeiten. Falls π₁(M) ≅ π₁(N), dann sind M und N isometrisch. Beginn einer Beweisskizze.

Literatur:

• J.W. Anderson: Hyperbolic Geometry, Springer 2005.
• R. Benedetti, C. Petronio: Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer 1992.
• A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poénaru: Thurston's work on surfaces, Princeton Univ. Press 2012.
  (Original en Français: Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque 66-67, SMF Paris 1979).
• B. Farb, D. Margalit: A primer on mapping class groups, Princeton University Press 2011.
• S. Baader: Geometry and Topology of Surfaces, Zurich Lectures in Advanced Math, EMS Press, Berlin, 2021.
• N. A'Campo: Topological, Differential and Conformal Geometry of Surfaces, Springer 2021.
• R. Bonola: Non-Euclidean Geometry, Dover Publications NY, 1955.
  (mit Übersetzungen von Lobachevskis "Geometrischen Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien" und Bolyais "Scientiam spatii absolute veram")
• J. Stillwell: Sources of Hyperbolic Geometry, AMS-LMS 1996.
• J.W. Milnor: Morse Theory, Annals of Mathematical Studies Nr.51, Princeton University Press, 1963.
  (mit einem Kapitel über Riemannsche Geometrie, wo die Begriffe "Riemannsche Metrik", "Paralleltransport", "Geodätische", "Krümmung" erklärt werden)
• W. P. Thurston: Three-dimensional geometry and topology, Edited by Silvio Levy, Princeton Math. Series 35, Princeton University Press, Princeton NJ 1997, ISBN: 0-691-08304-5.

1. Februar 2025